Évszázadonként egyszer előforduló matematikai bizonyítás történt

A matematika világa tele van olyan problémákkal, amelyek első ránézésre egyszerűnek tűnnek, ám évtizedekig, sőt akár évszázadokig is megoldatlanok maradnak. Ilyen volt Fermat utolsó tétele, amely több mint 350 évig várt bizonyításra, és ilyen a Kakeya-sejtés is, amely egy látszólag ártalmatlan kérdésből nőtte ki magát a modern matematikai analízis egyik legösszetettebb kihívásává. Most azonban úgy tűnik, hogy Hong Wang és Joshua Zahl megoldást talált rá, egy olyan bizonyítással, amelyet sokan az évszázad matematikai eredményének neveznek.

A probléma gyökerei 1917-ig nyúlnak vissza, amikor a japán matematikus, Sōichi Kakeya egy érdekes kérdést tett fel: adott egy végtelenül vékony, egységhosszúságú tű. Mi a legkisebb terület, amelyben ezt a tűt bármilyen irányba el lehet forgatni? Elsőre úgy tűnhet, hogy a válasz egy egyszerű kör, amelynek sugara az egységnyi tű hosszának fele, ám Kakeya felfedezett egy ennél hatékonyabb módszert, egy deltoid alakú görbét, amely kisebb területet használ fel — írja az IFLS.

Az igazi áttörést azonban az orosz matematikus, Abram Besicovitch érte el 1919-ben, amikor bebizonyította, hogy megfelelő manipulációval a szükséges terület akár nulla mértékű is lehet. Az ilyen „Kakeya-halmazok” rendkívül szokatlan geometriai tulajdonságokkal bírnak, amelyek egyrészt kihívást jelentenek a matematikusok számára, másrészt számos modern matematikai terület alapvető kérdéseivel kapcsolódnak össze.

A probléma új megközelítése – A dimenzió kérdése

Míg Besicovitch eredménye lenyűgöző volt, a matematikusok hamar rájöttek, hogy nem minden nulla mértékű halmaz egyforma. Az 1970-es évektől kezdve a figyelem egy másik kérdésre terelődött: milyen dimenzióval rendelkeznek ezek a Kakeya-halmazok? Az intuíció szerint egy háromdimenziós térben egy ilyen halmaznak szintén háromdimenziósnak kellene lennie, de ezt bizonyítani rendkívül nehéznek bizonyult.

A terület egyik vezető kutatója, Larry Guth (MIT) így fogalmazott:

„Ez egy olyan állítás, amely nagyon intuitívnak tűnik, mintha magától értetődő lenne, de valójában hihetetlenül nehéz bizonyítani.”

Az elmúlt évtizedekben a matematikusok apránként haladtak előre. 1995-ben Thomas Wolff kimutatta, hogy háromdimenziós térben a Kakeya-halmazok Hausdorff-dimenziója legalább 5/2 kell hogy legyen. Bár ez nem volt teljes bizonyítás, jelentős előrelépésnek számított. 1999-ben Terence Tao és munkatársai (Nets Katz és Izabella Łaba) ezt az értéket tovább növelték, de a végső bizonyítás még váratott magára.

A Wang-Zahl áttörés

2022-ben Hong Wang és Joshua Zahl egy teljesen új megközelítést alkalmazva bebizonyította, hogy ha egy Kakeya-halmaz rendelkezik bizonyos tulajdonságokkal – például „ragadós” (sticky) és „szemcsés” (grainy) struktúrája van –, akkor annak dimenziója pontosan három kell hogy legyen. Ez hatalmas áttörés volt, de még nem oldotta meg teljesen a sejtést.

A következő lépés az volt, hogy vizsgálják azokat az eseteket, amikor a halmaz nem rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, és bizonyítsák, hogy ezek sem lehetnek ellenpéldák a sejtésre. Három évnyi munka és több száz oldalnyi bizonyítás után Wang és Zahl végül sikerrel járt, és bebizonyította, hogy minden Kakeya-halmaz dimenziója megegyezik a tér dimenziójával, amelyben található.

Miért fontos ez a bizonyítás?

Bár elsőre a Kakeya-sejtés csupán egy geometriai fejtörőnek tűnik, valójában mély kapcsolatban áll más matematikai területekkel, például:

• Harmonikus analízis – A Fourier-transzformáció és más matematikai eszközök működését befolyásolja a Kakeya-halmazok szerkezete.
• Részleges differenciálegyenletek – Azok a módszerek, amelyeket a matematikusok a sejtés bizonyítására alkalmaztak, segíthetnek bonyolult differenciálegyenletek megoldásában.
• Számítógépes tudományok és kriptográfia – Az ilyen típusú bizonyítások hosszú távon hatással lehetnek az adattömörítésre és az adatfeldolgozásra.

Guido De Philippis, a Courant Intézet professzora szerint:

„Ez az eredmény nemcsak a geometriai mértékelmélet egyik legnagyobb áttörése, hanem hatással lesz a harmonikus analízisre, a számelméletre és még a számítógépes tudományokra is.”

Egy évszázadon át várt eredmény

Amikor Wang és Zahl eredményét közzétették az arXiv preprint szerveren, azonnal hatalmas érdeklődést keltett a matematikai közösségben. Terence Tao blogjában foglalkozott a bizonyítással, míg Nets Katz egyenesen „évszázadonként egyszer előforduló eredménynek” nevezte.

Bár a bizonyítás még hivatalos lektorálásra vár, a szakértők nem kételkednek annak helyességében. Wang és Zahl az eredményt előzetesen számos neves matematikusnak elküldte ellenőrzésre, és senki sem talált benne hibát.

Joshua Zahl így fogalmazott:

„Nagyon óvatosak voltunk. Mielőtt nyilvánosságra hoztuk volna az eredményt, minden elérhető szakértővel ellenőriztettük, hogy biztosak lehessünk benne.”

A teljes bizonyítás elolvasható az arXiv preprint szerveren, de a matematikai világ már most izgatottan várja, hogy milyen új felfedezések születhetnek ebből az áttörésből.

Ezeket a cikkeket is érdemes elolvasni:

Párizs földalatti világa: Egy egész világ a város alatt
A budapesti gőzvontatás különleges járművei